2023년 3월 고3 모의고사 수학 13번에 대한 분석 및 손글씨 해설입니다. 문제에 사용된 개념과 오답률(ebsi기준), 풀이의 순서를 함께 정리하였으니 참고해 주세요. 2023년 3월 모의고사 전과목 문제지는 본문 하단 참고문항의 링크에서 다운로드 하실 수 있습니다. 글의 순서는 다음과 같습니다.
2023년 고3 3월 수학 13번 문제 안내
2023년 고3 대상으로 시행된 3월 모의고사 수학 13번 문항입니다. 수학 1의 삼각함수 그래프 문제입니다.
기본적으로 삼각함수 그래프를 그릴 수 있어야 하며, 이차함수와 함께 합성함수 f(g(x))를 생각할 수 있어야 합니다. 이 문제의 경우 합성함수의 해를 찾는 과정이 필요하며, 합성함수가 출제되는 문제에 따라 그래프를 그려야 하는 경우도 있습니다.
문제를 해결하고 함수 f(g(x))의 그래프를 그리는 연습을 해보는 것도 권장합니다. 그래프는 해설과 함께 첨부하도록 하겠습니다. 문제를 스스로 풀어보시고 해설을 참고해 주세요.
- 과목 및 단원: 수학1, 삼각함수
- 활용 개념: 삼각함수, 삼각함수 그래프, 삼각함수 대칭성, 합성함수
- 오답률(EBSi기준): 오답률 10위 55.1%
2023년 고3 3월 수학 13번 손글씨 풀이
2023년 고3 3월 모의고사 수학 13번 손글씨 풀이입니다.
이차함수 f(x)와 삼각함수 g(x) 그래프의 합성함수 f(g(x))의 해를 구해야 하는 문제입니다. 합성함수 문제의 경우 정의역이 되는(13번 문제에서는 g(x)) 부분을 치환해서 생각할 수도 있으며, 어느정도 합성함수 풀이에 익숙하다면 치환을 하지 않아도 좋습니다.
f(x)=0이 되는 x의 값이 g(x)가 되어야 하는 것을 이해하는 것이 첫 번째 단계입니다. 13번 문제에서는 해가 무조건 존재해야 (나)를 만족할 수 있으므로 하나 이상의 해 t1, t,2를 가지는 것으로 생각하였습니다.
(f(x)=0의 실근이 존재하지 않을 경우 f(g(x))=0의 해가 존재하지 않아 (나)를 만족할 수 없습니다.)
이제 g(x)=t1, g(x)=t2를 만족하는 해의 합이 (나)를 만족하도록 t1, t,2를 결정해야 합니다. g(x)=t1, g(x)=t2의 해를 정확이 알지 못하더라도 사인함수의 대칭성을 이용하여 해의 합은 구할 수 있습니다. (나)를 만족하도록 t1, t2의 위치를 찾아주면 아래 손글씨 풀이의 (*)와 같음을 알 수 있습니다.
최종적으로 a, b값을 하나로 결정해 줄 수 있으며, 정답을 구할 수 있습니다. 상세한 풀이는 아래 사진을 참고해 주세요.
함수 f(x)와 g(x)의 합성함수 h(x)=f(g(x))의 그래프 입니다. 합성함수 h(x) 관점에서 본다면 정의역인 g(x)가 주기 함수이므로 함수값 f(x)도 일정한 주기(규칙)을 가지면서 나타나야 하는 것을 알 수 있습니다.
13번 문제의 경우 그래프를 그릴 필요 없이 문제를 해결할 수 있지만, 경우에 따라서 합성함수 그래프를 그리는 것이 문제풀이에 상당한 도움이 되는 경우가 있습니다. 그래프를 정확하게 그리지는 못해도 주기성과 극대, 극소의 개형만 그릴 수 있어도 합성함수 문제를 해결하는데 있어서 큰 도움이 됩니다.
